книги / Физические основы торможения разрушения

очевидным.	Сложность	его состоит в том, что существуют еще,
по крайней	мере, три	фактора, влияние которых на прочность

металла в принципе способно оказаться соизмеримым и свя­ занным с действием собственно концентрации напряжений. Имеются в виду термические напряжения, дислокационные процессы и вакансиониые явления в области матрицы, прилега­ ющей к включению. При охлаждении металла от точки кристалли­ зации до комнатных температур вследствие различия коэффициен­ тов термического расширения вокруг включения и в нем самом возникают значительные напряжения. Оценка их, например, по выражениям, приводимым Меланом и Паркусом [122], приводит к агг = 60 кгс/мм2.

Нормальные и касательные термические напряжения в обла­ стях металла, окружающих включение, вызывают два релакса­ ционных процесса, сток и вероятную коагуляцию вакансий и ра­ боту существующих и возможную генерацию новых дислока­ ционных источников.

Как известно, при достаточно быстром охлаждении в металле фиксируется концентрация вакансий, отвечающая исходной тем­ пературе. В первом грубом приближении неметаллическое вклю­ чение можно рассматривать как пору в металле, окруженную упруго сжатым его объемом. Согласно Я- В. Гегузину [155], в этом случае возникает диффузионный поток вакансий, направленный в сто­

рону	включения:
4	= 1 + 4 - ° " '	(IV. К)
То

где у о— поток, обусловленный лапласовским капиллярным давле-

нием; у — результирующий поток, включающий, помимо «лапла­ совского», поток, стимулированный всесторонним сжатием; а — радиус включения; б — коэффициент поверхностного натяжения.

Принимая аг. = 6*10® дин/см2; а — 5 -10_3 см; б = 103 эрг/сма, &[->•

находим

= 3 -104.

Vo

Несмотря на приближенный характер этой оценки, представ­ ляется реальным достаточно мощный вакансионный поток, на­ правленный в сторону неметаллического включения, создающего напряжения сжатия 1. Физически это означает, что объем мате­ риала вблизи неметаллического включения аккумулируют вакан­ сии.

Образование дислокационных источников на неметаллических включениях и преципитатах наблюдалось неоднократно. На крем­ нистом железе дислокационные розетки вокруг неметаллических

1 Очевидно, в случае растягивающих напряжении вакансии будут оттекать от включения.

9*

131

включений имеют чаще всего тетраили гексагональную симме­ трию. Плотность фигур травления возрастает на один-два порядка с приближением к включению и достигает высоких значений. Не­ металлические включения с диаметром менее 5—8 мкм, как пра­ вило, не образуют дислокационных розеток.

«Закалка» кремнистого железа с 900° С почти полностью исклю­ чает появление дислокационной розетки вокруг включений. Вме­ сте с тем, если бы речь шла о дислокациях, возникших под дейст­ вием термических напряжений, то «закалка» должна была бы сти­ мулировать появление дислокационной картины. Это обстоятель­ ство приводит к предположению 1 об участии вакансий в образова­ нии фигур травления вокруг неметаллических включений. Очеред­ ность процессов в области включения следующая. При охлаждении под влиянием термических напряжений возникают вакансионные потоки, направленные к неметаллическому включению, и одновре­ менно зарождаются дислокационные источники. Наиболее вероят­ ный механизм — захлопывание вакансионных пластин. Затем следуют коагуляция вакансий с образованием микрокаверн и взаимодействие дислокаций с вакансиями. При достаточном пере­ сыщении [156] вакансии поглощаются источниками дислокаций и последние восходят, что ведет к образованию геликоидальных дислокаций [157]. Учитывая существование многих дислокацион­ ных источников, следует ожидать появления клубков переплетен­ ных геликоидов, блокированных вакансиями в объеме, изобилую­ щем вакансиями и лакунами.

Всвязи с этим фигуры травления, по-видимому, принадлежат

идислокациям, и лакунам. Наиболее простой проверкой этого положения служит измерение микротвердости. Если «розетка» целиком дислокационная, то твердость должна возрастать с увели­ чением плотности дислокаций, т. е. по мере приближения к вклю­ чению. Установлено, что на обычных медленно охлажденных об­ разцах с ярко выраженной розеткой в ближайших окрестностях включения микротвердость ниже, чем в матрице. На закаленных образцах, где вакансии не успели сгруппироваться, твердость несколько возрастает с приближением к включению.

Таким образом, розетка фигур травления вокруг неметалличе­ ских включений является «ложной» в том смысле, что она не со­ стоит лишь из одних дислокаций, но содержит следы травления сгустков вакансий. Это обстоятельство, по-видимому, первосте­ пенное в условиях усталостного испытания, когда одним из основ­ ных является вакансионный механизм подрастания микро­ трещин.

Можно думать, что механизм влияния неметаллического вклю­ чения на усталостную прочность, помимо традиционного, чисто

1 Вакансионное истолкование, естественно, неоднозначно в связи с возмож­ ностью перераспределения примесей в окрестностях неметаллического включе­ ния, в частности, примесей кремния и углерода.

132

механического аспекта, связанного с концентрацией напряжений и деформаций, содержит подпитывание растущей усталостной тре­ щины вакансиями из резервуара неметаллического включения.

7. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОЬАНИЯ ВЗАИМ ОДЕЙСТВИЯ

ТРЕЩ ИН С НЕМ ЕТАЛЛИЧЕСКИМ И ВКЛЮ ЧЕНИЯМИ

Вопрос о полях напряжений в окрестностях взаимодействую­ щих трещины и включения рассматривался неоднократно. Интерес представляет в первую очередь влияние собственно включения на концентрацию напряжений вокруг трещины, поскольку этим определяется возможность прогнозирования. Вместе с тем будут подвергнуты анализу и более сложные случаи взаимодействия трещина—включение, носящие необратимый характер, в частности случаи, связанные с разрушением включения.

Прежде всего рассмотрим поля напряжений вокруг трещины, не контактирующей с включением. Предполагается при этом [158], что включение находится на линии продолжения линейной тре­ щины в плоской бесконечной, изотропной и гомогенной пластине. Материал включения отличается от матричного и толщина его та же, что и пластины. Напряжения на бесконечности известны и края трещины свободны. Чтобы выяснить количественное влияние включения на коэффициент интенсивности напряжений вблизи вершины трещины, проанализируем случай простого растяжения. Напряжения в вершине трещины, близкой к включению (г = а), будут характеризоваться выражениями

а* = 1 1 ' ао’( т 8Ш- г + - г 81п5- г ) х

V R	( 5 .
а» " 7 5 -Ч	т вт

(IV. 15)

		1	_ ф	)
Т'ху—		X cos5T		X
X		+ 0 (в»),
где	R =	(а — Ь)12 — половина	длины	*
				трещины; ее1ф — г — а
(О <	Ф <	2я); В'п = Вп/о0\ а 0 — величина напряжений на

бесконечности; Вп — параметрический коэффициент.

133

Аналогично записывается напряженное состояние вокруг вер­ шины трещины, удаленной от включения (г = Ь):

а* = т Й ао( т с05^ + - г с085-т -) х

X ^		+	т r "S (		-	f )	’	*	+ о (е°);
				П=1
		Y R		/	в			Ф,	1
		7 W				cos_r			-4- cos5‘T ") х
										(IVЛ6)
Х	1	' +	Т	S	( х ) " в» 1 + 0 (в0);
«[■				п=1				-J
			Vfl		(	1	•	Фх	1	• С®!
^	:							2	T	Sin5^

где	= г — Ь (— JT^ Ф ^ я ) .

Вприведенных уравнениях первые члены соответствуют ло­ кальному напряженному состоянию вокруг вершины трещины и имеют хорошо известную сингулярность, обратно пропорциональ­ ную корню квадратному из радиального расстояния от устья тре­ щины. Члены в квадратных скобках обусловлены присутствием включения. Для выяснения влияния жесткости включения выпол­ няли [158] численные расчеты.

Рассматривается коэффициент интенсивности напряжений во­ круг трещины в пластине с включением, отнесенный к аналогич­ ной величине в материале с трещиной, но без включения, в зависи­ мости от р,;/р, в условиях, когда \x,t меньше ц или больше его. Уста­ новлено, что присутствие более гибкого включения повышает коэффициент интенсивности напряжений, тогда как жесткие вклю­ чения уменьшают его. Как и следовало ожидать, влияние включе­ ния на вершину трещины, удаленную от него, намного меньше, чем на близко расположенную вершину. Так, круговое отверстие увеличивает коэффициент интенсивности напряжений около отда­ ленной и ближайшей вершин трещины на 13 и 30% соответственно,

асовершенно жесткое включение — примерно на 10 и 28%, когда da = 0,5 и 0,7 соответственно.

Вработе [159] приведено простое приближение для поля напря­ жений вокруг жесткого цилиндрического включения и трещины, ему параллельной. Автора интересовали точки, в которых можно было ожидать максимальных напряжений, т. е. на поверхности включения и в вершине трещины, близкой к нему, где z — R и R —

134

—л* Ясно, что составляющая сдвига ху стремится в этих точках

кнулю идругие составляющие записываются в относительном виде:

( ж ) ~ Д= °			~3 -4v~ 4v) +		16 -	8 V + 16 (1 -		V) k +
+	(21 — 14v-		8+) +	8 (3 -	v) Й» + ...]		(' ~	v>h*;
	„							V	} (IV. 17)
			+	I 6 - 8 v +		16(1- v ) ft +
+	(21 -	14v— 8v!)fcJ +		8(1 - v ) (3 + 2v)№ + ...] ^					.
Около левой вершины трещины									*
г х х — х х 0 1			__ г у у — у у о
[	S.		Jz=o—е	L
=	1 — (1 — 2v) £ - + ... .								(IV. 18)
Здесь		е — небольшая		положительная			величина.		Индекс О

в последнем уравнении соответствует напряжению при отсутствии цилиндрического включения. Члены без h в предшествующих двух выражениях характеризуют растяжение для v < 1/4 и сжатие для v > 1/4.

Численное решение приведенных выражений показывает, что напряжения на включении меняются с изменением размеров тре­ щины пропорционально квадрату ее ширины и уменьшаются про­ порционально квадрату расстояния до трещины. В свою очередь присутствие включения около трещины меняет напряженное со­ стояние вокруг последней. При этом напряжения растут пропор­ ционально радиусу включения и убывают как квадрат расстояния до включения. Воздействие включения на трещину очень велико, когда у мало, и стремится к нулю при v = 1/2.

Коэффициент интенсивности напряжений для трещины около включения вычисляли также в работе [160]. Бесконечная упругая пластина с содержащимся в ней круговым включением обладает различными свойствами. Связь между матрицей и включением пред­ полагается совершенной. Включение радиусом а находится на плоскости ху, причем центр включения расположен в начале коор­ динат. Область вне включения (а с г < оо) обозначена как об­ ласть 1, а внутри включения (0 с г с а) — как область 2. Гра­ ничные условия на поверхности раздела записываются в виде

	(U,)i — (Urh> (t f o ) i -		(^ 0 )2	нrа —	I	(IVЛ9)
	(crrr)i = (сггг)2;	(oyo)i =	(crr0)2	на г = a,	J
	где Ur, U0, огг	и т. д. — компоненты			смещения и напряжения
			в	полярных	координатах.

135

Трещина может быть представлена совокупностью Дислокаций; поэтому вначале рассматривается взаимодействие включения с от­ дельной краевой дислокацией, вектор Бюргерса которой располо­ жен в направлении X. Пусть краевая дислокация находится в поло­ жении (с, 0), где с > а > 0. Для этого случая напряжение сдвига вне включения аху дается на оси Y как

,

ч

Gxbx

(2а

(А —В) а

\ P x y ) i

(</=0)

яа ( k x -j- 1)

\ х х

х г

— 2А

pa—1

1 — Р2 й ] а2

,

(А + В ) а

,

рз [ '

Р **2 J х \ +

х

+

,

(В —

А)

о2

(IV.20)

+

р*2

где р =

1;

х х =

х — с;

х 2 = х — (а21с)

и

Л_

1

г*

_

рз _ ^2

ГЙ1 .

р _

G2

П

1 -j- Г к г ’ D ~~ k 2 + Г

’

Gx '

В этом

выражении с

характеризует положение дислокации;

а — радиус включения; G — модуль сдвига;

k = 3—4v для пло­

ской деформации и k — (3 — v)/(l

+ v) для плоского напряжен­

ного

состояния;

v — коэффициент

Пуассона; Ьх — вектор Бюр­

герса в направлении X .

Если краевая дислокация с вектором Бюргерса в направлении

Y находится

в

положении

(с,

0)

с

с > а >

0, то напряжения

(оуу)1 на оси Y для этого случая составляют

(°уу)1 (у=0) —	Gby	( 2 а _	( А + В) а _	2А	(р2 — 1)	X
	(^1 "Ь 1) I Х 1		*2		ра
X			+
+ [А (2Р2 - 1) +	М (Л, + 1) -		1 ] -рг +	2А	,

где М =	____ Г (^i + 1)_____
	(Ai + Г) (At — 1+ 2Г) *

( I V . 2 1 )

Если в образце существует трещина, то она может быть пред­ ставлена распределением дислокаций, и формула для напряже­ ния, приложенного к поверхности вскрытия <тприл, обусловлен­ ного внешними усилиями и напряжениями от включения, имеет вид

2 T L + ] ~ r r + ] N ( c ) H ( c , х) d c = 0.

(IV.22)

a, a,

136

Здесь N (с) — плотность дислокаций, причем вектор Бюргерса заменяется величиной bN (с) dc, D = [2Gb!n (1 -j- k)], где G, b и k будут иметь соответствующие индексы. Н (с, х), установлен­ ный для каждого случая, прямо следует из соответствующих урав­ нений (IV.20) и (IV.21), определяясь тем, имеется ли внутри или вне включения трещина сдвига или растяжения.

Интегральное уравнение (IV.22) сводится затем к стандартной

форме подстановками:
с =			а = а* ~ а'	а; х =	(х* + «)
и к форме N (с) =		Ni fa); v — а.2		и‘ .
			ССо— O&i
	+ 1		+ 1
*i +	j		J	х*) dc, = О,	(IV.23)
	—1	1	-1
где Oj =	(anpnn/D)	и Н г выводится из Я.

Расчет приводится для случаев одно- и двухосного напряжен­ ного состояния. В первом случае деформация определяется растя­ гивающими усилиями на бесконечности, равными оуу = Т и при­ ложенными в направлении оси У. В отсутствие трещины поле на­ пряжений определяется включением в точке у = 0:

(<Vi = т ( 1 — ~%г — ^ - ) Лля У = 0, | JC| > a,

(IV.24)

flg ( f a — О Г — f a — 1)1 .

[(А2 - 1 ) + 2 Г )

(IV.25)

( 1 - Г )

2 ’(1+М ') ‘

Напряжение, определяемое равенством (IV.24), является при­ ложенным напряжением, которое следует использовать в уравне­ нии (IV.22). Рассчитывалась величина

к

(а2—аг)112

в зависимости от расстояния до включения (в долях его радиуса) для различных значений величин Г при /Сх = /Са = 2.

Двухосное напряжение состояние имитируется круговым рас­ тяжением Т на бесконечности. В отсутствие трещины это поле,

как и в предыдущем случае, определяется	включением и на оси
у = 0 выражается следующим образом:
(aw)1= 7 , ( 1— ^ - ) Для у = 0, \х \> а ,	(IV.26)
где В, — см. в уравнении (IV.25),

137

В приведенных выше выражениях для К* величина К является коэффициентом интенсивности напряжений около вершины тре­ щины, определяемым выражением

где гг — расстояние от вершины.

Все данные относятся к вершине трещины, ближайшей к включению.

Приведенные выше результаты характеризуют положение при различных расстояниях трещина—включение (г). Интересна ситу­ ация, когда это расстояние мало. По мнению [160], в этом случае величина К* меняется иначе, чем г-1/2. Скорее имеется зависимость типа К* — rN с м = —1/10 в случае Г = 1/3. Это означает, что особенность напряжения в условиях непосредственного прибли­ жения трещины к включению будет иметь характер г(-1/2-|-ло при N = —1/10.

В отличие от приведенных выше исследований [161] можно рассмотреть и задачу, в которой напряжения на трещине со­ здаются благодаря включению, определяющему собственно про­ филь самой трещины. Тело при этом предполагается бесконечным и изотропным и контуры жесткого включения определяются зна­

чениями у = / (х)		для — с ^ х ^ с,		с <	1. Граничные условия
таковы, что оух (я, 0)=0, иу (.х, 0)			=	f (\х\)	для	|* |< с, иу (.х, 0) =
= 0; для | * | > 1		и оУу (х1У0) =	0, с < | х | <			1.
Решение для смещения выбирают по форме
“У=	!7Г-Гп) j e-to (1 — 2г|— ly) ф (|) cos \х d%\
	о					(IV.27)
	оо
«* =	2ТГ=л) I	е~Ь (2 — 2т1+	Ы Ч>(I) sin \х d t

Для у — 0 нормальные составляющие напряжений и смещений равны

= у-1—•J ii|> (I) cos lxdl\

(IV.28)

иУ{x, 0)

В приведенных равенствах (IV.27) и (IV.28) т] и р, обозначают коэффициент Пуассона и постоянную Ламе соответственно. Остаю-

138

щиеся граничный условия удовлетворяются при нахождении функ­ ции ф (£) так, чтобы

X
J ф (I) cos lxd% = f(x),		0 < x <	c;
О
X
ji Ф (^) cos | x d l = О,		c < x <	1;	(IV.29)
0
х
J Ф(£) cos \x dl = 0,		* > 1.
0
Для	частного случая	f (х) = 6	— х%коэффициент	интен­
сивности напряжений при х = с			находится в форме
К =	_______ ^ ------------			(IV.30)

с2 (1 — тр [2с (1 — с2) ] 1/2

Его минимальное значение имеет место при с = 1/1/*3- Энергия выражается следующим образом:

С

1,7 = 4 J Сти,(*, 0)/(*)</x = n8*(l — - £ ) , 0 < с < I. (IV.31)

о

Смещение имеет вид, допускающий численное интегрирование:

1 — с2 cos2 9	In У \	— л2 + 1 Л	— с2 sin2 9
У \ — с2 sin2 0	У	1 — х 3 — У 1	— с2 sin2 0

d&-

(IV.32)

В случае, когда трещина с обеих сторон вскрыта двумя вклю­

чениями,. вызывающими	нормальные	смещения	иу = f (\х\) для
с ^ | х | ^ 1, остальная	поверхность	трещины	предполагается

также свободной от напряжений. Граничные условия таковы:

оуу (х} 0) =	0	для	0 С | * | <		с\
иу {х, 0) =	/(|*|)	для с <		|*| с	1;
иу (х,0) =	0	для	х >	1;
°хУ(х, 0) =	0.

В конечном итоге нормальные напряжения при с < х < 1 равны

139

Фактор интенсивности йапряжения	составляет
К '= Ц г ~ У с ( 1 - г )	(IV.34)

имаксимален при с = 1/]/3.

В.В. Панасюк, Л. Т. Бережнидкий и И. И. Труш в работах [162, 163] исследовали условия распространения прямолинейной

трещины, одна из вершин которой находится в материале вклю­ чения, а другая — в материале связующего, т. е. в матрице. Анализировалось бесконечное изотропное тело, находящееся в ус­ ловиях плоского напряженного состояния, с круговым включением из другого однородного материала. Тело ослаблено прямолиней­ ной трещиной, расположенной вдоль диаметра включения и вы­ ходящей в материал матрицы. Прочность сцепления между вклю­ чением и матрицей считается не меньшей прочности составляю­ щих композит материалов. Силовое воздействие определяли за­ данным на бесконечности равномерно распределенными и взаимно перпендикулярными усилиями интенсивностью р и qt причем усилие р было приложено под углом а к линии расположения тре­ щины.

Общее выражение для предельной нагрузки pjv) и qM, по достижении которой трещина начинает распространяться в окре­ стности /-той вершины:

	)(?)	2ki		(IV.35)
		nih + k)	* fj (т], a , R, lt, k, X, vlt
				v2) ’

где kj — постоянная материала, выражаемая через модуль Юнга Ej, коэффициент Пуассона v;- и эффективную поверхностную энер­ гию материала у;-; kj = (nEfljj42 в случае обобщенного плоского

напряженного состояния и kj =			|	/	^ в	случае	плоской
деформации;	%=	— ; р.- — модуль		сдвига,		который	связан
с модулем	Юнга	Р2	£ у- =		2р,- (1 -f- v7); lx — длина
		соотношением

трещины во включении; /2 — длина трещины в связующем. При этом величины с индексом } = 1 относятся к физико-механичес­ ким характеристикам материала включения, а величины с индек­ сом / = 2 — к физико-механическим характеристикам материала матрицы. На основании формулы (IV.35) составляют отношение

	Р(*1)//?*2)	с учетом того,	что kj	это функция от р;-, у;-,						в случае
	плоской деформации:
	_	/ 2 (л, «» А. к, X, vlt		v2)	I	Г Ц1_ ^ 1	— v2	I /	ъ_	(IV.36)
	р&)	/a (t|, a , R, llt	/2, X, vlf	v2)	V	р2 * 1	—	V	Yi
										'
	Это соотношение можно записать как
	Ж	= К ^~								(IV.37)
		Ъ

140